看了上次的scratch入门文章后，是不是感觉跃跃欲试了，上次我们体验了scratch的画笔功能，那我们今天就尝试下用画笔来画几何图形吧。

上次用了画笔工具后，编者兴致盎然，一直想着用画笔工具画点什么？

本来想画个三角形或正方形之类的，没想到一发不可收拾，画了很多很多正多边形出来了，大家来欣赏下吧。

为了追求视觉上的统一，看起来没那么杂乱，干脆在同一个圆内画了这么多正多边形。不过虽然看着很简单，可是对小学生来说，实现起来可能还有点难度，因为这里面用到了若干三角函数的基础知识。

我们先不管上面的视频，我们先想想，如果要画个正方形，我们要怎么做呢？

画正方形

如果只画个小正方形的话，可能很简单。

画之前特意问了我家的小朋友，小朋友只是说正方形方方正正的，四条边一样长。

方方正正是个什么意思呢？用稍微书面点的文字来描述，正方形主要有两点性质：

• 正方形有四条等长的边

• 正方形的每个角是直角

当我们用scratch画正方形的时候，就会牵涉到下面两个问题：

• 连续画4条线段

• 连续的2条线段是互相垂直的（直角）

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“落笔”开始画

回忆下上节课的内容，我们用画笔工具画线段的时候，是不是先要拿起画笔往“舞台区”上“落笔”呢？

如果我们不能确定“落笔”是什么意思，可以右击“落笔”按钮，然后再点击旁边所弹出的“帮助”按钮，会看到“脚本区”上面会打开一个页面，弹出如下提示和示例：

没错吧，“落笔”后再移动100步，小虫子后面就会画出一条线段。

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画线段

依样画葫芦，我们也这样搞，看看能不能画出一条线段呢？

看到没有，当我们点击“旗帜”运行的时候，左边“舞台区”就画上了一条蓝色的线段。画完以后我们“抬笔”，画笔抬起来了，表示画完了。

最后的“移到x:0 y:0”表示画笔放回中心点，方便下次用。当然，还可以防止画笔跑出了“舞台区”。

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画直角

我们按照上面的方法，连续画2条线段，2条线段之间形成一个夹角，怎么确保夹角是90度呢？

这里牵涉到角度的问题，小学低年级的小朋友可能还不知道转一圈是360度，360度四等分成4个直角，每个直角就是90度。

我们知道了直角是90度后，用“运动模块”里的右转/左转工具转个90度再画第2条线段，那这连续的2条线段形成的夹角就是直角。

我们调整下脚本。

哈哈，直角搞定了。

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重复右转4次搞定正方形

那我们再继续转几次正方形不就搞定了？

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利用循环控制来简化脚本

这样虽然搞定了，但脚本看起来有点重复，脚本里的移动100步都用了4次，还记得“控制”模块里的“重复执行”功能吗？我们用它来精简下。

看起来是不是精简些了呢？

画个三角形？

正方形搞定了，我们尝试来画个正三角形吧？！

和前面的区别，主要就是转向的角度不一样了吧，正方形是转90度，三角形应该转多少度呢？

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三角形的性质

正三角形有哪些特性呢：

• 三条边相等

• 三角形内角和是180度，正三角形每个角是60度

那我们连续画线段的时候，是不是每次转个60度，回到起点后，就把一个正三角形画好了呢？

oh,my god!说好的三角形呢，怎么变成连续的几条线段呢？不过线段看起来很有规律的，我们再多重复画几条试试吧。

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失败的三角形=六边形

明明我们想画个正三角形，可是画出来的偏偏是个正六边形？

想想，哪里搞错了呢？原来呀，是我们的角度转得不对。

真是无心插柳柳成荫啊，我们明明想画个正三角形，因为方向转错了，竟然画出个正六边形出来了。

其实啊，如果左转120度（和右转60度等价），画出来的就是正三角形了吧。

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正十二边形

塞翁失马，焉知祸福？我们本来想画3条边的正三角形，却画出了6条边的正六边形。如果我们把左转的度数缩小一半到30度，把重复执行的次数增加一倍到12次，看看能画出个什么来呢？

当然了，画过一次后，我们发现舞台区不大，得把移动的步伐缩小点，不然又画出去了。

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正二十四边形

哈哈，继续，正二十四边形都出来了，有没有发现什么规律了吗？

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圆

明明是想画正48边形的，为什么看起来这么像圆？其实小朋友不知道的是，我们古时候的祖冲之呀，计算圆周率的时候，就是用这样的割圆术去逼近圆的。当正多边形的边数越来越大的时候，画出来的图形，越来越接近于圆。

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找规律

小朋友学数学，要善于找规律。

我们画了正六边形、正12边形、正24边形、正48边形，结合每次转的角度，有没有发现什么规律呢？

细心的小朋友可能还真发现了？我们把角度乘以边的个数，怎么乘积都是360度呢？

如果是正三角形，那3条边，左转的角度应该是360/3=120度吧。

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正三角形

还真是这样，原来画三角形的时候得左转120度呢。

综合上面所画的正多边形，其实我们发现了一个定理：

多边形外角和等于360度

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正N边形

依赖于这个性质，我们就可以根据上面的脚本画出任意正多边形，譬如画个正n边形，那我们只要左转360/n度就可以。

当然了，要控制下步数，免得画到“舞台区”外面去了。

组合成动画？

知道了制作各类多边形后，那我怎么依次把这些正多边形画个遍呢？

当然了，从上节内容来看，多边形边数变大了，无非就是越来越像圆了，边数大了后，凭我们的眼睛又看不出差别，所以啊，我们画前面10多个正多边形就好了。

那我们得想想，每次循环画正多边形的时候，多边形的边数是不是不断变化的呢？这个要怎么实现？

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变量

循环的时候不断变化的值，我们可以存在变量里。

譬如，我们定义一个变量num，专门来存放正多边形的边数。

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双层循环控制

我们每次画一个正多边形num的时候，需要循环num次才能把该多边形画好，前面提到过，num变化的时候，我们也需要用一层循环来控制，那这样就需要两层循环来控制。

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完整脚本

全部脚本如下所示：

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动画效果图

为了看起来不至于太单调，每画一边的时候随机设置了画笔的颜色。

另外一种形式的动画？

不知道大家有没有发现，前面这个五彩缤纷的动画，有一个一直不变的东西，那就是正多边形的边长，我们每次循环画边的时候，移动的步数都是30步吧。

那我们现在换一种方式，我们绘制所有的正多边形，外接圆都重合的话要怎么画呢？

什么叫外接圆重合呢，每个正多边形的顶点共圆，我们要让所有多边形的顶点都在同一个外接圆上。

那这些正多边形之间有哪些共同的特性呢？

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不变的常量——外接圆半径

所有正多边形中，从圆心到任意一个多边形的端点，也就是圆的半径，一直是不变的。

还记得前面做的那个动图，不变的是什么吗？不变的是边长。

为了方便在脚本里编写调试，我们将这个不变的半径设置成一个常量R。当然，在scratch里其实都是变量。

我们将边数也设置成一个变量Num。

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固定出发点，调整好绘制方向

为了方便绘制，我们计划所有的正多边形统一从坐标系中的某个点出发，譬如坐标系中的点E｛x=0,y=R｝。

在scratch中，我们每次绘制一个正多边形的时候，都要将位置移动到{0,R}这个点，然后面朝某个方向开始绘制。

而对于正Num边形来说，这里我们取Num=6，也就是我们以正六边形为例。当我们把位置移动到{0,R}的时候，第一条线绘制的方向是不是线段DE的方向呢？

最初我们从圆心O{0,0}往上移动到E{0,R}的时候，是朝正北的，到了E点后，要转向到ED的方向，如下图所示：

通过上个动画的制作，我们知道所有正多边形的外角和是360度，所以每个正多边形的内角是180-360/Num，所以从OE转向DE，线段要面向的方向是180-（180-360/Num）/2=90+180/Num。对于正六边形来说，就是要面向120度的方向。

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边长

在六边形中，我们确定好起点E和方向后，我们还有确定好线段ED的长度。

其实，我们很容易知道角HOE为360/Num/2=180/Num。

根据正弦定理，易知线段EH=R*sin(180/Num)，所以线段DE的长度就是线段EH的两倍，也就是2R*sin(180/Num)。

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右转方向

线段ED绘制好了以后，我们从线段ED转向线段DC，右转的度数是不是一个外角那么大呢？外角和是360度，那这个外角就是360/Num。

那这样循环Num次，正Num边形是不是画好了呢？

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完整脚本

完整脚本如下所示：

完整效果图如下，和前面的视频相比，只是增加了随机色而已。

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