数学使用虚构的规则来创建模型和关系。学习时，我问：

1、这个模型代表什么关系？

2、现实世界中的哪些项目共享这种关系？

3、这种关系对我来说有意义吗？

        它们是简单的问题，但它们帮助我理解新的话题。如果你喜欢我的数学文章，这篇文章涵盖了我对这个经常被诽谤的话题的看法。许多人留下了深刻的评论，他们的数学和资源的斗争，帮助他们。

数学教育

        教科书很少集中在理解上，它主要是用“插拔”公式来解决问题。美丽的想法受到如此死记硬背的待遇使我感到悲哀：

        毕达哥拉斯定理不只是关于三角形。它是关于相似形状之间的关系，任何一组数字之间的距离，等等。 E不仅仅是一个数字。它是关于所有增长率之间的基本关系。自然对数不只是一个反函数。它是关于事物需要增长的时间。

        优雅，洞察力应该是我们的重点，但我们留给学生可能是羁绊的。一个地狱般的填鸭式会议在大学；从那时起，我想找到和分享这些顿悟，以避免别人同样的痛苦。

        但它是双向的——我希望你也能和我分享见解。更多的理解，更少的痛苦，每个人都赢了。

数学随时间演化

        我认为数学是一种思维方式，重要的是观察思维是如何发展的，而不仅仅是显示结果。让我们举个例子。

        想象一下你是一个穴居人在做数学。第一个问题是如何计算事物。随着时间的推移，一些系统已经发展起来：

没有系统是正确的，每个都有优势：

1、一元系统：在沙地上画线——简单得多。在游戏中保持得分很好；你可以在没有擦除和重写的情况下添加一个数字。

2、罗马数字：更高级的一元，具有大数的捷径。

3、小数：巨大的认识，数字可以使用一个“位置”系统的位置和零。

4、二进制：最简单的位置系统（两个数字，在VS关闭），所以它是伟大的机械设备。

5、科学符号：非常紧凑，可以很容易地测量一个数字的大小和精度（1e3 vs 1.00 e3）。

        想我们完了吗？没办法。1000年后，我们将有一个系统，使十进制数字看起来像罗马数字一样古怪。

负数不是真的

        让我们再考虑一下数字。上面的例子表明，我们的数字系统是解决“计数”问题的许多方法之一。

        罗马人认为零和分数很奇怪，但这并不意味着“虚无”和“部分对整体”是没有用的概念。但是看看每个系统是如何结合新的想法的。

        分数（1/3）、小数（234）和复数（3 +4i）都是表示新关系的方式。他们现在可能没有道理，就像零对罗马人没有意义。我们需要新的真实世界关系（比如债务）让他们点击。

        即使这样，负面数字也不可能存在于我们的思维方式中。

        顺便说一下，包括西方数学家在内的许多人直到17世纪才接受负数。负数的概念被认为是“荒谬的”。负数看起来很奇怪，除非你能看到它们代表了复杂的真实世界的关系，比如债务。

事物的真谛？

        我意识到我的思维方式是学习的关键。它帮助我获得深刻的见解，特别是：

        事实的知识不是理解。知道“锤子驱动钉子”与任何坚硬物体（岩石、扳手）能驱动钉子的洞察力不同。

        保持开放的心态。通过让自己再次成为初学者来发展你的直觉。

        认识到你可以学习。我们期望孩子们学习代数、三角和微积分，这将震惊古希腊人。我们应该：我们能够学习这么多，如果解释正确的话。不要停止，直到它有意义，或者数学上的差距会困扰着你。精神韧性是至关重要的，我们往往太容易放弃。

我想分享我所发现的，希望它能帮助你学习数学：

        数学创造具有特定关系的模型，我们试图找到真实的世界现象，它们有着相同的关系。

        我们的模型总是在改进。一种新的模型可以更好地解释这种关系（罗马数字到十进制）。

        当然，有些模型似乎毫无用处：“假想的数字有什么好处？”很多学生问。这是一个有效的问题，有一个直观的答案。

        假想数字的使用受到我们的想象和理解的限制——就像负数是“无用的”一样，除非你有债务的概念，假想数字可能令人困惑，因为我们不能真正理解它们所代表的关系。

        数学提供模型；理解它们之间的关系并将它们应用到真实世界的对象。

        发展直觉让学习变得有趣——甚至当你理解它所解决的问题时，我想通过关注关系，而不是证明和力学来涵盖复杂的数字、微积分和其他难以捉摸的话题。

但这是我的经验——你是如何学习最好的？

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