上一期文章中，对旋转四棱锥显示系统做了大概的介绍，其中用到了很多数学计算，本期开始就对这些数学计算的过程进行详细介绍。本期介绍旋转矩阵的推导过程。旋转矩阵，又叫做方向余弦矩阵，英文全称Direction cosine matrix，简写为DCM。下面开始推导过程。

旋转矩阵的推导过程

      如下如图所示，两个坐标系X-Y-Z及X1-Y1-Z1，它们的原点及Z轴重合，X1-Y1-Z1绕Z或Z1轴旋转了角度φ。有一个点p，其在X-Y-Z坐标系下的坐标为（x,y,z），且假设其在X-Y-Z中固定不动。在X1-Y1-Z1坐标系下的坐标为（x1,y1,z1）。注意：此时Z、Z1轴垂直于纸面向外。坐标（x,y,z）与（x1,y1,z1）之间存在着怎样的运算关系呢？注意：φ的正负按右手螺旋定则来判定，拇指指向旋转轴的正向，此时若旋转角度的方向与食指中指指向一致，则角度为正，若方向相反则角度为负，以下推导不在赘述。

从图中的几何关系，将（x,y,z）看作已知量，可以得到：

将以上等式关系写成矩阵的形式：

       上式等号右边的第一个矩阵就是一个旋转矩阵，是绕Z轴旋转的旋转矩阵，注意这个矩阵是“左乘”向量（x,y,z），不能随意写成“右乘”，如果要变换位置，必须把旋转矩阵和列向量（x,y,z）进行“转置”，即把“列”换到“行”。上式是从（x,y,z）到（x1,y1,z1）的变换运算。

       接下来，我从上图中Y轴的负方向往正方向看去，并且隐藏X-Y-Z坐标系，再建立一个新的坐标系：X2-Y2-Z2，其原点位置仍与X1-Y1-Z1重合，且Y1轴与Y2轴重合，X2-Y2-Z2坐标系绕Y1或Y2旋转一个角度θ。注意：此时两坐标系的Y轴是垂直纸面向里的，根据右手螺旋定则判定，此时θ应该是负的。

 与前面的方法一样，我们可以很快得到下面等式：

 写成矩阵的形式得：

这个变换是从X1-Y1-Z1到X2-Y2-Y2的变换。

       接下来，我们再从上图的右侧，即X1、X2的正向往负向看过去，隐藏X1-Y1-Z1坐标系，再次新建一个坐标系X3-Y3-Z3，它的原点仍然与X1-Y1-Z1重合，且X3轴与X2轴重合，X3-Y3-Z3绕X3或X2轴旋转了一个角度β。此时X2、X3是垂直于纸面向外，根据右手螺旋定则判定β的值为正。

同样，我们可以很快得到下面等式：

写成矩阵的形式：

这个变换是从X2-Y2-Z2到X3-Y3-Y3的变换。

       下面，我们隐藏X2-Y2-Z2，恢复X-Y-Z，此时的X3-Y3-Z3就是最开始与X-Y-Z重合的一个坐标系经过三次旋转得到的新坐标系，p点在X-Y-Z坐标系下的坐标仍为（x,y,z），而它在X3-Y3-Z3的坐标为（x3,y3,z3），则X-Y-Z坐标系到X3-Y3-Z3坐标系的变换为：

      注意矩阵的“左乘”顺序，这个顺序是不能随意改动的，它必须与旋转顺序一致。实际上，我们是将（x2,y2,z2）、（x1,y1,z1）逐次代入得到上面等式的。旋转次序不同，得到的旋转矩阵是不一样的。在这个推导过程中，我们是先绕Z轴旋转，再绕Y轴旋转，最后绕X轴旋转。如果我们以一架飞机的坐标系来定义，X轴指向机头方向，Z轴指向飞机的上方，而Y轴指向飞机的侧面，绕Z轴旋转的角度称为偏航角-yaw（φ），绕Y轴旋转的角度就是俯仰角-pitch（θ），绕X轴旋转的角度则是滚转角-roll（β），因此本文中的旋转次序可以定义为y-p-r。接下来，按照矩阵乘法的规则（自左向右），整理上面的等式：

       上面等式中，等号右边的3X3矩阵就是我们最终要求出的旋转矩阵。在整个变换过程中，X-Y-Z坐标系是固定不动的，例如地理坐标系，因此可以称为g系；而X3-Y3-Z3是相对于g系旋转的，可以把它理解为固定于一个飞机的机体（body）上，因此称为b系。通过上面得出的矩阵，我们可以把g系的坐标投影到b系，因此该矩阵也记为Cgb，表示从g-b的变换。如果要求b-g的变换，则要求出Cgb的逆矩阵Cbg。在线性代数中，求矩阵的逆矩阵是一个非常复杂的过程，然而非常幸运的是，Cgb是一个正交矩阵（这个定义将在后期文章中进行介绍），它的逆矩阵就是它的转置矩阵，因此，我们可以通过简单的“行列交换”得出其逆矩阵Cbg：

      如果不嫌计算麻烦，我们也可以用“土”办法来验证，例如在绕Z轴旋转得出的等式关系中，将x1,y1,z1看作已知数，求解x,y,z关于x1,y1,z1的等式关系，三组等式都这样进行求逆，最后按上面的三个旋转次序再进行矩阵乘法，一定可以得到上面的矩阵Cbg。另外，通过旋转矩阵的元素，也可以求出当前b系相对于g系的欧拉姿态角。

      在“旋转的四棱锥”项目中，g系就是固定在屏幕上的“屏幕坐标系”，b系则是固定在四棱锥上跟随四棱锥旋转的“四棱锥坐标系”，这个项目的核心就是这个旋转矩阵。下一期我们将介绍旋转矩阵更新的方法。如有错误的地方，请批评指正。

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