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艾伦梦想学院，没有梦想到达不了的地方。欢迎收看“童影同行，艾伦逐梦”，行知探索第七期：Allen用编程和人机交互技术求解勾股定理数学问题。

很多美国小朋友都觉得数学难学。而很多中国的家长则会抱怨美国学校数学教的太简单。数学真的难学吗？美国的数学真的简单吗？

今天给大家分享的是，美国西雅图一位只有7岁在读小学一年级的Allen同学，如何用计算机编程解决抽象的勾股定理数学问题。

勾股定理，在美国叫毕达哥拉斯定理（Pythagorean Theorem），核心是，如果给定直角三角形的两条直角边长，就可以用代数方法求出第三条斜边长。

七岁的孩子，理解勾股定理恐怕都已经很难了吧？更不用说用编程算法和人机交互技术实现。在写代码解决这一看似简单的数学问题过程中，我们会遇到平方和开方的计算，变量的设置和类型的选取，数值处理，对话系统设计等。下面请跟随我的镜头记录和文字解读开启一场数学和计算机编程的探索之旅。

数学的世界是理想的世界

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Allen英文讲解勾股定理题目求解方法

Allen用白板手算勾股定理题目

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Allen编程实现自动求解勾股定理题目

Allen用计算机编程和人机交互技术

实现电脑自动求解勾股定理题目

可能有小朋友或家长看过视频后会感兴趣代码是如何实现的？下面的截屏是计算勾股定理部分的核心代码。如果你感兴趣试用Allen编的这个程序——Math Time with Allen ，可以点击如下网址：https://scratch.mit.edu/projects/215604325/#player。如果你对代码实现部分感兴趣，可以访问如下网址查看程序源代码：https://scratch.mit.edu/projects/215604325/#editor。

核心代码

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我是如何引导Allen学习勾股定理的？

我家里有一套从亚马逊网上淘来的写给婴幼儿的科学启蒙书籍，其中一本就是《The Pythagorean Theorem for Babies》（写给幼儿的毕达哥拉斯定理），就是下面图片中的这本。其他，还包括写给幼儿的微积分，量子物理，广义相对论，C++编程等。

Allen在2018年1月初次接触毕达哥拉斯定理

回顾我整个求学历程，学习数学的最大问题就是数学学习和其他应用学科的学习是割裂的，学习数学的过程很枯燥，既抽象难懂，又不知道有什么用，尤其是学到高等数学、线性代数、离散数学等内容。数学老师只管照本宣科，然后就是刷题，几乎从来不讲学这些数学有什么用。

所以在和Allen共同学习过程中，我几乎从不让他做数学题（学校也有没有作业），而总是注意引导他从钱币、厨房、博物馆、建筑、动物、植物、体育甚至音乐中学习和思考数学。

Allen和小伙伴做钱币换算

我和Allen有每天早上读30-45分钟书的习惯。2018年4月12日的早上，我让Allen自己在书架上找本书读，他居然挑了本高中数学《Algebra I and Algebra II》（代数1和代数2）。

Allen在自学高中代数

看完书上关于The Coordinate Plane（平面直角坐标系）的内容介绍，我启发Allen思考，如何能够知道平面直角坐标系上两点之间的距离。Allen想了想，去找了把尺子，开始用刻度尺量书上两点之间的距离。

我提醒他，书上的数字可能跟刻度尺上的比例不一致。这个问题可以转化为他之前学过的毕达哥拉斯定理（勾股定理）求解。

他在草稿纸上画出勾3cm，股4cm的直角三角形，然后用直尺量出弦是5.1cm。

用测量法解勾股定理几何问题

我鼓励他，如果能想出用代数计算平面直角坐标系两点间距离的方法，他就是独立发现用代数解决几何两点间距离这一方法的第一人，这整本书可能都不用继续看了。

他又开始尝试用Xcode（苹果iOS手机App开发平台）写代码求解。他把计算得到的结果与用刻度尺测量结果（存在绘图，测量和观察误差）对比，发现两者非常接近。

最后自己又随机出题，不用画图，熟练计算平面直角坐标系上两点（-6，11）到（7，-3）之间的距离，还分别用Double（双精度浮点数）和Float（单精度浮点数）表示，分别为：19.1049731745428和19.1。

Allen用代数法求平面上两点间距离

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勾股定理可以解决什么实际问题？

勾股定理变换出的求平面以及空间两点间距离的方法，被广泛用于人工智能中的很多热门技术，如手写识别、人脸识别、图像识别、语音识别、自动驾驶等。

利用卷积神经网络实现手写识别

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历史长河中的勾股定理

欲做学问，必先为史。无论学习任何学科的知识，我都特别注重对这一学科以及相关知识点历史知识的学习。只有站在古人的视角，了解当时的人遇到了什么问题，作为第一个吃螃蟹的人，他是如何思考和解决这个问题的，才能让我们不仅学习到知识点，更能引发学习的兴趣，掌握学习和研究问题的方法，这些才是更加宝贵，可以受益终身的东西。

勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较短者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理。

勾股定理形数结合

公元前十一世纪，中国古代周朝的大夫、数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”。《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三、股四、弦五”，根据该典故称勾股定理为商高定理。

图片来源：池永理架＠世界史トレカTwitter

公元三世纪，三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，记录于《九章算术》中“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。2002年第24届国际数学家大会（ICM）的会标即为该图。

在这幅“勾股圆方图”中，以直角边a、b为边长，得到正方形ABDE是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）^2=c^2

化简后便可得：

a^2+b^2=c^2

亦即：

c=（a^2+b^2）^(1/2)

赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。

图片来源：slidesplayer

外国远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组。美国哥伦比亚大学图书馆内收藏着一块编号为“普林顿322”的古巴比伦泥板，上面就记载了很多勾股数。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时，也应用过勾股定理。公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯证明了勾股定理，因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理（Pythagorean Theorem）。

两组常见的勾股数

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数学与善

最后跟大家推荐数学家也是哲学家的怀特海晚年的一篇著名文章《数学与善》。在这篇文章中，怀特海说古希腊哲人柏拉图曾做过一次著名演讲，主题为“数学与善”。怀特海在这篇文章里所担心的主要问题是：如果数学模式脱离了其得以起源的生活世界，就会导致伦理学上的“恶”。

数学世界是一个理想世界。使用数学模式的“一个危险就是片面地使用逻辑”如过度强调欧几里得式演绎技巧，就会导致近代科学中的“误置具体性的谬误（fallacy of misplaced concreteness）”——“把经验的丰富复杂性和动态过程还原为简单抽象，然后又把这种抽象误认为是具体的实在”。

数学的世界是一个理想的世界

我们在使用很多理论时，包括金融投资理论，都很容易忽略理论背后很强的假设。理论指导实践和实践出真知都很重要，用尺子实际测量一段距离与用代数方法计算几何问题同等重要。

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回答开篇的两个问题

数学难不难学？要看怎么学。如果只是照本宣科，题海战术，那是难学而且枯燥无趣，没了兴趣，以后随着数学难度的增加，就更加难学了。如果向历史学，向生活学习数学，数学不仅不难学，还很有趣，如果融数学于项目中，做成跨学科的项目，让数学真正发挥它的威力，那种成就感就更强烈了。

美国的数学难不难？要看对谁。用毕业于哈佛大学曾在美国名校执教，现为清华经济管理学院院长的钱颖一教授的话说，“中国的学生均值高，美国的学生方差大”。美国的公立学校一般只提供类似中国的义务教育，要照顾大多数同学的水平，相对简单。但是对于有数学天赋的同学，他们可以在公立学校的天才班（gifted or high-cap program）或私立学校得到更有针对性的引导和天赋潜能开发。这也是为什么大家都传说美国基础教育差，但是却尖端人才辈出的原因，包括芯片人才，诺奖得主等。

所以，只要方法得当数学并不难学。每个孩子都有自己的天赋，我甚至听说一种说法，每个孩子七岁之前都是天才。家长要注意发现孩子的天赋、特长、兴趣点和敏感期，注意引导和提供适宜的环境、平台、资源支持和名师培养，家长的陪伴和关注也很重要，让孩子体会到自己在家长心中很重要。

祝大家周三快乐！艾伦梦想学院下期再见。

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