图解解题方法

6.5不等式(组)的实际应用

图解思路

 

规范解答

解法一(设直接未知数)：

设甲厂每天处理垃圾需要x小时，依题意得

550x＋495×≤7150

解得x≥10.

答：甲厂每天处理垃圾至少需要10小时.

解法二(设间接未知数)：

设甲厂每天处理垃圾x吨，依题意得

x·＋(700－x) ·≤7150

解得x≥550，＝10.

答：甲厂每天处理垃圾至少需要10小时.

解后反思

对于这类实际问题，由于涉及不等关系，所以可建立不等式模型来解决解题的关键：

一是做对两点.

(1)设什么想清楚.一般是问什么设什么，也可依据具体问题和自身分析问题的切入点设间接未知数.

(2)不等量有几个，分别是什么通常体现不等关系的关键词语有：超过、不足、不能、提前等，往往这些词语所在的句子就是不等关系所在，

二是做细两点

(1)设未知数和结果的论述要准确.未知数代表的是确切值，所以未知数前不出现“至少、不超过”等词语，在答题时则必须根据所问来进行答题，注意依据问题确定所求解集的特殊解.

(2)重点分清连接两个不等关系之间的不等号是大于还是大于等于，是小于还是小于等于，要熟悉常见的一些表述方式的数学含义，如“不超过”就意味着“小于等于”，“至少”就意味着“大于等于”.

图解思路

 

规范解答

设商场投资x元，在月初出售，到月末获利的总额为y₁元，在月末出售，可获利y₂元.依题意，可得y₁＝15%x＋10%x(1＋15%)＝0.265x，y₂＝30%x－700

(1)当y₁＝y₂时，0.265x＝30%x－700，x＝20000；

(2)当y₁＜y₂时，0.265x＜30%x－700，x＞20000；

(3)当y₁＞y₂时，0.265x＞30%x－700，x＜20000.

答：当商场投资20000元时，两种购销方式获利相同；当商场投资超过20000元时，第二种购销方式获利较多；当商场投资不足20000元时，第一种购销方式获利较多.

解后反思

这是一个典型的方案决策问题，首先需要弄清的就是影响决策的关键因素.通常情况下通过审题一般不难发现总有两个因素为关键因素：

一是待选方案的不同，另一个就是在表示出每种方案时都不可或缺的某一关键量，如本例中的商场投资额，只有有了它才能明确地表示出每种方案的获利情况，所以一般情况下设这个关键量为x，从而将每种方案都用含x的代数式表示出来.

接下来就是利用它们进行大小比较，即建立方程模型和不等式模型，通过解方程和不等式，得到依据x的变化而进行的不同方案的决策.

图解思路

 

规范解答

设A队胜x场、平y场、负z场，

则有，把x当成已知数，

解得，由题意，知

x≥0、y≥0、x≥0，且x、y、z均为整数，

，解得3≤x≤6，于是x可取4、5、6.

所以，，.

答：A队胜4场、平7场、负1场，或胜5场、平4场、负3场，或胜6场、平1场、负5场.

解后反思

解答这类题时，可先把题设中的方程(组)的解求出来，再根据题目中的限制条件列不等式(组)进行解答；

或先求出题设不等式(组)的解集，再与已知解集进行比较，从而列方程(组)进行解答.

利用不等式(组)解应用题，其步骤与列方程(组)解应用题大体相同，

不同的是，后者寻求的是等量关系，列出的是等式，而前者寻求的是不等关系，列出的是不等式，

并且解不等式(组)所得的结果通常为一解集，需从解集中找出符合题意的答案.

触类旁通

1.某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天的产量多6辆，那么15天的产量就超过了原来20天的产量原来每天最多能生产多少辆汽车?

2.某次数学竞赛活动，共有16道选择题，评分办法是：答对一题给6分，答错一题倒扣2分，不答题不得分也不扣分.某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成绩才能在60分以上?

3.某种商品进价为150元，出售时标价为220元，由于销售情况不好，商品准备降价出售，但要保证利润不低于10%，那么商店最低打几折出售该商品?

4.某单位要印刷一批宣传资料，在需要支付制版费600元和每份资料0.3元印刷费的前提下甲、乙两个印刷厂分别提出了不同的优惠条件，甲印刷厂提出：凡印刷数量超过2000份的超过部分的印刷费可按9折收费；乙印刷厂提出：凡印刷数量超过3000份的，超过部分印刷费可按8折收费.

(1)若该单位要印刷2400份宣传资料，则甲印刷厂的费用是       ，乙印刷厂的费用       .

(2)根据印刷数量大小，请讨论该单位到哪家印刷厂印刷资料可获得更大优惠.

5.某宾馆底层客房比二楼少5间，某旅游团有48人，若全安排住底层，每间住4人，房间不够；每间住5人，有房间没有住满5人.又若全安排住二楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，有房间没有住满4人.该宾馆底层有客房多少间?

6.某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件，已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利润1200元.

(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案?请你设计出来.

(2)设生产A、B两件产品获的总利润为y元，其中一种的生产件数为x，试写出y与x之间的关系式，并利用相关的性质说明(1)中哪种生产方案获的总利润最大?最大利润是多少？

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参考书：《图解名校初中数学压轴题》，彭林[著]，上海社会科学院出版社。

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