图解解题方法

图解典型难题

图解思路

 

规范解答

由①＋②＋③得(m＋2)(x＋y＋z)＝3(m＋2).

当m＋2＝0，即m＝－2时，0·(x＋y＋g)＝3·0，此时方程组的解不能唯一确定；

当m≠－2时，得到x＋y＋z＝3.④

由①－④得(m－1)x＝m－2，

由②－④得(m－1)y＝m－1，

由③－④得(m－1)z＝m.

当m≠1时，方程组的解为，

综上所述，当m＝－2时，方程组的解不唯一确定.

当m＝1时，方程组无解.

当m≠－1且m≠－2时，方程组的解为.

解后反思

解含有字母系数的方程组同解含有字母系数的方程一样，在字母两边同时乘以或除以字需要弄清字母的取值范围，进行分类讨论.

触类旁通

1.已知方程组和方程组的解相同，求(2a＋b)²⁰¹²的值.

2.已知关于x、y的二元一次方程组的解互为相反数，求x、y、a的值.

3.已知关于x、y的方程组的解满足x>0，y>0，求实数a的取值范围.

5.3 一次方程组的应用

图解思路

规范解答

设甲袋原来有水果xkg，乙袋原来有水果ykg.

由题意，列方程组

解得

因此，x＋y＝48＋36＝84.

答：这堆水果原来共有84kg

解后反思

列方程组解决实际问题，设几个未知数就应当相应地找几个相等关系，与一次方程的应用类似，此类问题的关键仍然是找准等量关系，根据等量关系列方程组解决应用问题.

本题设甲袋原来有水果x千克，乙袋原来有水果y千克，因为设两个未知数，故需要两个等量关系

(1)甲袋中取走剩下的＝乙袋中取走12kg剩下的，根据等量关系可得方程x-x=y-12；

(2)乙袋取走12kg后余下的一半＝乙袋原来的，根据等量关系可得方程(y-12)=y，联立两个方程，解出x，y，进面求出总质量x＋y.

图解思路

规范解答

 

如图，设甲班学生从学校A乘汽车出发至E处下车步行，甲班学生乘车行了akm，空车返回至C处，乙班同学于C处上车，此时乙班学生已步行了bkm.

根据题意列方程组，可得.

解得

答：他们至少需要才能到达.

解后反思

本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题口给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解，本题根据题意可画出草图，可以较快，较清晰地列出所需等量关系.

根据题意可让甲班学生从学校A出发乘车akm至某处下车步行，再让车空车返回至某处，乙班同学在此处上车，此处距离学校bkm，

根据相等关系1：车接到乙班同学的时间(车送甲班至E处，再开回到C处与乙班相遇)＝乙班同学步行的时间：相等关系2：甲班步行时间车接乙班返回的时间＋乙班坐车到达B的时间，列出两个方程，求方程组的解即可，最后根据时间＝路程/速度的关系式，即可得他们至少需要多长时间才能到达.

触类旁通

1.小明的妈妈在菜市场买回3千克萝卜、2千克排骨，准备做萝卜排骨汤，妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同质量的这两样菜只要36元”爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨的单价上涨20%”；小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少?”请你通过列方程(组)求解这天萝卜，排骨的单价(单位；元/千克).

2. 甲种矿石含铁54%，乙种矿石含铁36%，将两种矿石若于吨进行混合得到含铁48%的矿石，如果混合时甲种矿石比原来少取121，乙种矿石比原来多取10t，那么混合后的矿石含铁45%，则原来混合时，两种矿石各取多少吨?

3.某火车站在检票前若干分钟就开始排队，排队人数按一定的速度增加，如果开放一个检票口，则要40min检票口前的队伍才能消失，如果同时开放两个检票口，则16min队伍就消失了，设检票的速度是一定的，如果同时开放三个检票口，要多长时问检票口前的队伍才会消失.

4.有一片牧场，草每天都在匀速生长(草每天增长量相等).如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天可以吃完牧草，设每头牛吃草量是相等的，如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草.

5.某人乘汽车，他看到第一块里程碑上写看一个两位数(单位：km)；经过1h，他看到第二块程碑写的两位数恰好是第一块里程碑上的数字互换了；又经过1h，他看到第三块里程碑上写看一个三位数，这个三位数恰好是第一块里程碑上的两位数中间加上一个0，则汽车的速度是多少？

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参考书：《图解名校初中数学压轴题》，彭林[著]，上海社会科学院出版社。

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