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精彩例题解析

NOIP2018提高组初赛

选择第7题

7. 在一条长度为1的线段上随机取两个点，则以这两个点为端点的线段的期望长度是

A. 1/2         B. 1/3         C. 2/3         D. 3/5

这道题有三种解题方法：

1

直接计算法

思路最简单，但需要一些微积分知识。

设线段端点分别为x, y，求线段期望长度E即为求|x-y|的均值，在区域D=[0,1]×[0,1]上对|x-y|积分再除以D的面积即可。注意D的面积为1，因此化简为：

考虑|x-y|的对称性，可去掉绝对值号并化为累次积分，得

因此选B。

2

立体几何法

直观好算，需要一点空间想象能力！

建立空间直角坐标系Oxyz，z=|x-y|与Oxy所围成的几何体A的体积V与单位立方体体积1之比即为所求。根据|x-y|的对称性，可以只考虑x>y的部分然后乘以2。通过画出（想象）图象，不难发现这部分几何体就是其中一条棱为y=x、另外三条棱分别平行于x、y、z轴且长度均为1的四面体，体积为

因此：

选B。

3

古典概型法

计算最简单，技巧性较强。

设线段端点分别为x, y，线段的期望长度E即等同于在[0,1]上再随机取一点z，z落在[x,y]内的概率。

如果将{x,y,z}排序只有3!种情况。因为x,y,z都是任取的，所以每种情况概率相等，其中只有两种情况下z在[x,y]内，即x< p="">

因此选B。

注：

以上我们假设了x, y, z互不相等。由于x，y，z在实数区间上取值，它们任意两个相等的概率为0，因此是否考虑相等关系不会影响计算结果，为简化起见只考虑不等关系即可。

同学们，这道题你做对了吗？你觉得哪种方法最好呢？

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