【问题描述】 已知一个数列U[1]，U[2]，U[3]，…，U[N]，往往可以找到一个最小的K值和K个数a[1]，a[2]，…，a[K]，使得数列从某项开始都满足： U[N+K]=a[1]×U[N+K-1]+a[2]×U[N+K-2]+……+a[K]×U[N] 例如对斐波拉契数列1，1，2，3，5，…，可以发现：当K=2，a[1]=1，a[2]=1时，从第3项起（即N≥1）都满足U[N+2]=U[N+1]+U[N]。试对数列1^2，2^2，3^2，…，n^2，…，求K和a[1]，a[2]，…，a[K]使得上式成立。 【答案】 K=3，a[1]=3，a[2]=-3，a[3]=1 【分析】 若K=2，则有 (n+2)×(n+2)=a[1]×(n+1)×(n+1)+a[2]×n×n 化简得到： n^2+4n+4=(a[1]+a[2])n^2+(2×a[1])n+a[1] 对应系数联立方程组，得 a[1]+a[2]=1 2×a[1]=4 a[1]=4 无解。 若K=3，则有 (n+3)×(n+3)=a[1]×(n+2)×(n+2)+a[2]×(n+1)×(n+1)+a[3]×n×n 化简得到： n^2+6n+9=(a[1]+a[2]+a[3])n^2+(4×a[1]+2×a[2])n+4×a[1]+a[2] 对应系数联立方程组，得 a[1]+a[2]+a[3]=1 4×a[1]+2×a[2]=6 4×a[1]+a[2]=9 解得， a[1]=3 a[2]=-3 a[3]=1 选自：第四届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛初赛试题（初中组）2-1

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