《高等数学》在大学中属于挂科率非常高的一门课，其中的微积分更是大多数理科科目的基础。因此，学好微积分非常重要。可是由于没有高考的压力，很多学生上大学后就开始放松，而微积分又比较抽象，学习起来感觉很枯燥，这就导致了很多大学生对后续的专业课失去了信心。笔者认为，如果能激起学生学习的兴趣，把理论和实践结合起来，那么学微积分的时候就会更加主动，理解起来也比较容易。

为了解决上述问题，笔者研发了一套《机器人单光感巡线》的课程，由浅入深的引入微积分的概念。上课内容的衔接模拟设计产品的过程，为了优化巡线效率而不断优化程序算法，进而理解为什么需要用到微积分，课程内容只要有初中基础即可，内容如下。

1.二段法

巡线的原理是利用颜色传感器，通过发光二极管的光照到地面后反射回来的光值不同，判断机器人的位置。假设黑白的光值分别为0和100，黑白中间的光值——阈值就是50。【差值】=当前光值-阈值。如图一，差值正数（白色）就右前，反之（黑色）左前，机器人会沿着黑线的边缘行进。转向的范围是-100到100。转向的绝对值越大机器人越接近原地转弯，反之越接近直走。

                                         图一

二段法程序如图二所示，转向分别为-30和30。

图二

2.三段法

      二段法有一个缺点，直线部分的时候机器人还要不停地摇摆，效率太低。三段法就是在机器人判断黑白的基础上加入了一个“新的颜色”——灰色。当机器人检测的光值是30~70那段区域（灰色），说明机器人身体是正的，需要直走，转向与差值之间的关系如图三所示。

 图三

三段法程序如图四所示。

图四

3.比例算法

三段法的缺点是机器人摆动幅度太大，为了解决这个问题，我们需要让机器人距离边缘越近的时候转向越小，距离边缘越远就转向越大（例如分成左急转、左转、直走、右转、右急转五段）。段数越多转向分的越细，也就是说没偏就直走，机器人越偏离轨道越需要加大转向 。转向（比例）=差值×比例参数（相当于“无数”段法）。转向与差值成正比（如图五所示）， 比例参数越大，直线越倾斜，巡线时的灵敏度也就越高。太灵敏转弯快，但直线慢；不灵敏转弯容易跨线，但直线很快。

图五

比例法程序如图六所示

图六

4.PID算法

比例算法有一个很大的缺陷，就是无法在提高速度的同时保证直线和急弯的巡线都很精确 ，为了更好地解决这个问题我们可以加入积分的思想。如果机器人遇到急弯，随着时间的累计就能突破转向的极限，实现快速转弯。不仅如此，适当的积分还可以减小摆动幅度，假设比例部分相同，加上积分部分后同样的位置可比单纯比例算法获得更大的转向。

转向=比例部分+积分部分+微分部分 

积分部分=积分（∑（单位时间×差值））×积分参数

实际上差值随着时间的变化并不规律，如图七所示。积分可以看做是计算曲线和横坐标围成的面积，我们可以把面积无限细分，分成无数个长方形，长方形的宽就是无限细分后的单位时间，长方形的高就是当前时间对应的差值，最后对这些长方形进行求和就可以得到总面积（积分部分）。程序中由于单位时间和积分参数都是常量，为了简化程序，我们输入的积分参数实际上是单位时间和积分参数的乘积。

图七

在实际巡线过程中，机器人做出的判断和马达输出是有时间差的，因此比例巡线经常会出现延迟。为了解决这个问题引入微分思想。微分部分=微分（差值—上一个差值）×微分参数。如果把上图曲线无限细分，曲线可以看成是由无数个直线组成的。微分可以看成是某一瞬间差值的变化量，我们把其中的这些的直线左端点看做上一个单位时间的差值，中间点是现在的差值，右端点是下一个单位时间的差值，这样一来我们就可以把转向变化的趋势看做是相同的。例如现在差值是3，上一个差值是2，那么我们可以预测下一个差值是4。也就是说，如果忽略积分，微分参数和比例参数都为1，那么会得出转向=差值+微分=3+（3-2）=4，这样让机器人提前调整转向，就可以实现精确巡线的作用。

程序如图八所示（PID=E*KP+I*KI+D*KD）

转向=差值×比例参数+积分×积分参数+微分×微分参数

图八

总而言之，积分（无限求和）累计差值，可以提高急转弯的效率，微分（无限细分）可以让机器人提前做出调整更精确的巡线.微积分的共同作用是减小摆动幅度。

PS：PID算法调整参数是一件非常耗时的工作，我的习惯是先确定功率，然后是比例参数的调整（参考范围0.3~1.2，注意不能跨线和离线）和微分参数的调整（参考范围4~10，功率大就需要增加），最后根据急弯的角度判断积分参数（参考范围0.0005~0.002，急弯部分容易离线可适当降低功率）

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